不可达基数：不可达基数也可称不可到达基数，大基数是集合论用语，而不可达基数就是大基数领域中最小的大基数，不可达基数也可以理解为是特殊的阿列夫不动点，不可达基数也是正则性基数，假设有一个n是不可数的且正则的极限基数，则称是弱不可达基数，如果是不可数的且正则的强极限基数，则称n是强不可达基数，在GCH，连续统假设之下，每个弱不达基数也是强不可达基数，每个强不可达基数也都是弱不可达基数。之所以用“不可达”称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们，不可达基数拥有正则性，而不光是不可达基数，前面的很多基数有具有正则性质，就比如说阿列夫零，阿列夫零的势与所有自然数集合的势对等，而阿列夫零是不可以通过有限基数相加、相乘、乘方……等等到达的，而像阿列夫阿列夫零、阿列夫阿列夫阿列夫零……等等基数也具有正则性质，而怎么证明正则性质呢？若n是强不可达基数，又集合X的基数|X|<κ，则幂集P(X)的基数也小于κ，又若|S|<κ，且对每个X∈S，|X|<κ，则|∪S|<κ，这就是说，由小于n的基数，无论进行何种运算，总达不到n，取幂集也无法到达n。强不可达基数是一种正则基数，简称不可达基数，既是正则的又是强极限的无穷基数，即如果正则基数κ满足k>n，且对任何λ<k有2<k，κ就是一个强不可达基数。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性，称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，不能使用通常的集合论运算得到，正如它的名称一样，“不可达”，但不可达基数也只是大基数领域的“守门人”，在后面的各种大基数中，不可达基数可以说是相当的渺小。
马洛基数：马洛基数又称马赫罗基数，最小不可达基数κ，需要满足cfκ=κ，a<κ→2^a<κ的基数，一个2-不可达基数κ是第κ个不可达基数，一个超不可达基数就是κ-不可达基数，每一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集，则此k为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，超马洛基数，κ是κ-马洛基数。
弱紧基数：大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数κ被称为弱紧的，如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，则称基数κω是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于κω，κ是弱紧基数与以下各条等价：1.κ具有分划性κ→(κ)22。2.对任何基数γκ及nω，κ具有分划性质κ→(κ)nγ。3.κ是强不可达基数且有树性质，κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。4.κ是超滤性质。5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。6.κ有Vκ可扩张性质。7.κ有序性质。8.κ是π11不可描述基数。
汉弗(Hanf，W.P.)于1964年与库仑(Kunen，K.)于1977年的工作结合起来，得到如下结论：弱紧致基数κ是强马赫罗基数，并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω，其紧致性定理是：Lωω的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型，亦即，语言Lωω是(ω，ω)紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数κω称为弱紧2基数，是指语言Lκκ是(κ，κ)紧的，即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：κ是弱紧1基数，当且仅当κ是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数。
不可描述基数：这里不可描述基数是指一类大基数，指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X)，当有α层结构〈Vα，∈↾Vα，R〉满足Φ(R)时，即〈Vα，∈↾Vα，R〉⊨Φ(R)成立时，存在β<α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈Vβ，∈↾Vβ，R∩Vβ〉⊨Φ(R∩Vβ)，则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在α层结构中真的公式，必可在α之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，κ是强不可达基数，当且仅当κ是∏10不可描述基数，又当且仅当κ是∑11不可描述基数，κ是弱紧基数，当且仅当κ是∏11不可描述基数，若κ是可测基数，则κ是∏21不可描述基数。
强可展开基数：基数κ是λ不可展开的，当且仅当对于ZFC的基数κ的每个传递模型M负幂集使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有非-将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为κ，且j (κ) ≥ λ，一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ 都是 λ-不可折叠的，一个基数κ 是强 λ 不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数 κ 的传递模型 M使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中 j 的临界点为κ，j (κ) ≥ λ，并且 V(λ) 是N的子集，不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为 λ 的序列，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有 λ 都是强 λ-不可展开的。
可迭代基数：基数κ为可迭代的，κ的每个子集都被包含在弱κ-模型M中，κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。
拉姆齐基数：拉姆齐基数定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[ κ ] <ω表示κ的所有有限子集的集合，一个不可数的基数 κ 称为 R 如果，对于每个函数f : [ κ ] <ω → {0, 1}，有一个基数κ的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为 κ 的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R，如果对于每个函数， 基数κ实际上称为Rf : [ κ ] <ω → {0, 1}，有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C 中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 R的概念，其中对于每个λ < κ ， f的齐次集都需要阶类型λ，这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数，介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A ∉ I和对于每个函数，f : [ κ ] <ω → {0, 1}，有一个集合B ⊂ A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。
强拉姆齐基数：一个为κ的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A⊆κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M，κ-模型M可数完备，〈M，U〉满足κ-完备，它必然是正确的，因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。
可测基数：可测基数是一个不可数的κ ，因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度，而κ-additive意味着，对于任何序列Aα， α<λ 的基数λ<κ，Aα是<κ的序数的成对不相交集， Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界，并使用了模型理论中的超强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，当且仅当 κ 是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时， κ是可测量的基数，这也意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。
巨大基数：V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M⊂M。
伊卡洛斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
完整性公理：
I3： 存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。
I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。
I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。
I0：存在 L(Vλ+1 ) 的非平凡基本嵌入，其临界点<λ公理。
超级莱茵哈特基数：超级莱因哈特基数对于任一序数α，存在一j:V→V with j(K)>α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。
伯克利club：基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M<M和crit j<k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α<k，都有一个j:M<M和α<crit j<k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j<K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α<crit j<k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y<k。
『冯·诺依曼宇宙』，V_λ，若λ=a+1，则V_λ=P(V_a)(幂集)，若λ为极限序数，则V_λ=∪_k<λ V_k，∪_k V_k，k能够遍历所有序数。事实上，冯·诺依曼宇宙就是一个不断取幂集的过程，V_0={}，V_0是空集，空集就是一个没有任何元素的集合，{}的子集是{}，而V_1是空集的幂集就，V_2是V_1的幂集，也就是}，{{}，V_3……以此类推，到后面就很多了，我们假如说V_0的基数是0，也就是空集，那么0的幂集V_1的基数就是2^0=1，V_2的基数=2^V_1=2，V_3的基数=2^V_2=4，V_4的基数=2^V_3=16，V_5的基数=2^V_4=65536……，冯·诺依曼宇宙非常庞大，庞大到是一个真类