此文摘自知乎作者Ember Edison
V=终极-L的直接推论
(Axiom Icarus set) 见证最大基数Icarus的存在性。(Woodin) 见证真类多的Woodin基数。(L-like) 是最大的内模型。(
-like) 见证能够和选择公理兼容的最大的类-
公理，并且θ是正则的。(Ordinal Analysis) 拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）(Regularity property) 见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言（虽然具体的值我未曾找到）(
) 见证
猜想成立。 (V=HOD) 见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。(Reinhardt) 见证ZF+Reinhardt不一致。(
) 存在非平凡初等嵌入
. (Generic-Multiverse) V是最小的脱殊复宇宙。(GCH) 见证广义连续统假设成立，并且
上有一个均匀预饱和理想。(PFA) 见证正常力迫公理(Proper Forcing Axiom)成立。
PFA+存在一个Woodin基数可以见证，存在见证一个Woodin基数是Woodin基数的极限的内模型。PFA本身可以推出开放涂色公理OCA(Open coloring axiom)。是一个比较有用的力迫公理。
(
) 见证必要最大化原则(Necessary Maximality Principle)成立。 如果在一个弱紧致基数的模型内见证
成立可以见证，存在见证一个Woodin基数的内模型并且投影决定性公理PD成立。另一个比较有用的力迫公理。
(UA) 见证超幂公理(Ultrapower Axiom)成立。(UBH, CBH) 唯一分支假设UBH以及共尾分支假设CBH不成立。
V=终极-L的前置需求
(Supercompact) 一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。(Ultrapower Axiom) 一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。(SBH) 一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
导读：目前最强的见证存在武丁基数的武丁强极限的内模型中见证cUBH(弱唯一分支假设)成立，并见证
对一切基数
成立。
如果某个内模型见证一个基数
是
- 亚紧致基数存在则UBH(唯一分支假设)，CBH(共尾分支假设)，SBH(策略分支假设)，PFA都可以成立，并破坏
。
V=终极-L的可能推论
(First-Order) V=终极-L是一个多元一阶算术(Many-Sorted First-Order Logic)集合论。
(finitely axiomatizable) 存在V=终极-L的有限公理化。
导读：终极-L本身当然不可能是有限公理化的。但是我们可以这样做：宣告ZF，宣告V=终极-L，宣告存在以上所有条款的最大序数真谓词。（可数传递模型/
-传递模型是不需要的，因为终极-L见证
猜想成立）然后寻找这一套东西的保守扩张是有穷公理化的，将这个最终的东西命名为“V=终极-L的理论”。只要V=终极-L确实是多元一阶算术，就可以这样做。 (Limit of supercompact) 存在真类多的
基数并且每一个
基数都是超紧致基数的极限。(AD-Conjecture) 对于每一个超紧致基数的极限基数
,
成立。 导读：I0和Icarus都是极其强大的内模型。第一个
的证明使用I0基数的存在性而得以完成，而反过来说，这也证明了I0基数是和
相似的类-AD公理。然而，继续向上推广I0会遇到一些疑难：I0本身已经并不是非常像决定性公理，或许继续往上会越来越不像决定性公理。所以在I0和Icarus之间发展出了三种不同的推广方式，也就是U(j)表示，Suslin表示，E层级。而如果AD-Conjecture成立可以终极地避免类似问题：我们在V和Icarus之间建立了绝对性。 (The Perfect Theory 2.b.) Icarus基数之下的每一个
基数的真类初等嵌入具有三歧性。(V[G]) 如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的
序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。(Universal Partition) 见证普遍分区公理成立。(Strong Universal Partition) 见证强普遍分区公理成立。(Canonical inner model) 终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。
V=终极L自身的疑难问题
(
) 终极L是否是唯一的。 (Ultrafilter Axiom at λ) 如果只有一个终极-L，那么对于每一个超紧致基数的极限基数
, 超滤公理成立，反之不成立。 即使真的存在一个典范的内模型是终极L并且满足“Woodin的完美理论”的所有条款，也不一定只有一个这样的典范内模型。虽然Woodin与Peter Koellner等人认为终极-L几乎没有可能不是唯一的，然而如果内模型计划最终得到了这样的结果的话，终极-L也不会是柏拉图主义所完全满意的那个终极理论而变成了形式主义的又一次伟大胜利。
以下戏仿内模型计划的其中一个挑战理论，内模型假设的形式的猜想，假定了终极L至少具有
个这种宏伟意义上的唯一性失败。 (
for Ultimate-L) 对于每一个一阶语句
若位于一些
的外模型内那么存在一个终极内模型
满足
。(
for Ultimate-L) 对于每一个带有参数
的一阶语句
若位于一些
的外模型内并且
-preserving 和
-preserving 那么存在一个终极内模型
满足
。 原版的
是一个具有最大宽度（通过将所有力迫外模型所增强的语句指认为宇宙内的适当内模型）但是极低的高度（不存在不可达基数）的“矮而最胖”的集合论公理。而相对的终极-L则是一个“最高而瘦”（最大的大基数和CH成立）的集合论公理。虽然不太可能成功，但是这样的一个缝合怪或许是某种意义的最优集合论理论。 (M-Max) ZFC+V=终极L 是否能比
更为M-最大？ 马丁最大化MM作为一个早年Woodin信奉后来又抛弃的概念，一直都有将MM的弱化（
等）和集合论局部结构的内模型相互比较强度的论文推出。诚然，终极-L会是一个S-最大(Steel-Maximization)理论，然而有人质疑V=终极L作为是否能在M-最大(Maddy-Maximization)意义上比MM更强，因为他们认为似乎终极L并不是那么的典范的内模型，并且最终提出了以下猜想。
(INEC) 解释不存在猜想Interpretation Non-Existence Conjecture:
ZFC+V=终极L中不存在关于
的M-等价解释。因此，
严格意义地比 ZFC+V=终极L 更为M-最大。
